মৌলিক সংখ্যা, যৌগিক সংখ্যা, কোন সংখ্যা কত দ্বারা বিভাজ্য তা বের করার টেকনিক

Download Note- Basic math part-2

মৌলিক সংখ্যা কী?

বন্ধুরা, তোমরা নিশ্চয়ই সংখ্যা চেনো! ১, ২, ৩, ৪, ৫… এভাবে আমরা কতো সংখ্যাই না গুণতে পারি। এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে কিছু বিশেষ সংখ্যা আছে, যাদের আমরা মৌলিক সংখ্যা বলি। মৌলিক সংখ্যাগুলো একটু আলাদা, কারণ এদেরকে শুধু দুটি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায়: ১ এবং সেই সংখ্যাটি নিজে।

চলো, কিছু উদাহরণ দিয়ে বুঝি:

• ২: এই সংখ্যাটিকে তুমি শুধু ১ এবং ২ দিয়ে ভাগ করতে পারবে। অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায় না। তাই ২ একটি মৌলিক সংখ্যা।
• ৩: এই সংখ্যাটিকেও তুমি শুধু ১ এবং ৩ দিয়ে ভাগ করতে পারবে। ৩ও একটি মৌলিক সংখ্যা।
• ৫: ৫-কেও শুধু ১ এবং ৫ দিয়ে ভাগ করা যায়। এটিও একটি মৌলিক সংখ্যা।

কিন্তু ৪ সংখ্যাটির কথা ভাবো। ৪-কে আমরা ১ দিয়ে ভাগ করতে পারি (৪ ÷ ১ = ৪), ২ দিয়ে ভাগ করতে পারি (৪ ÷ ২ = ২), এবং ৪ দিয়েও ভাগ করতে পারি (৪ ÷ ৪ = ১)। যেহেতু ৪-কে ১ এবং ৪ ছাড়াও ২ দিয়ে ভাগ করা যায়, তাই ৪ একটি মৌলিক সংখ্যা নয়।

মৌলিক সংখ্যার বৈশিষ্ট্য

মৌলিক সংখ্যাদের কিছু মজার বৈশিষ্ট্য আছে:

১. সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা ২: মৌলিক সংখ্যাদের মধ্যে ২ হলো সবচেয়ে ছোট। ২. একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা ২: তোমরা জানো জোড় সংখ্যা মানে যেগুলোকে ২ দিয়ে ভাগ করা যায় (যেমন ২, ৪, ৬, ৮)। মৌলিক সংখ্যাদের মধ্যে শুধু ২-ই জোড় সংখ্যা। বাকি সব মৌলিক সংখ্যা বিজোড় হয়। ৩. ১ মৌলিক সংখ্যা নয়: ১-কে তুমি শুধু ১ দিয়েই ভাগ করতে পারো। এর দুটি উৎপাদক (যা দিয়ে ভাগ করা যায়) নেই। মৌলিক সংখ্যার জন্য দুটি উৎপাদক দরকার – ১ এবং সেই সংখ্যাটি নিজে। তাই ১ কোনো মৌলিক সংখ্যা নয়।

মৌলিক সংখ্যা কেন দরকারি?

মৌলিক সংখ্যা গণিতবিদদের কাছে খুবই গুরুত্বপূর্ণ। এগুলোকে সংখ্যার ‘বিল্ডিং ব্লক’ বা মৌলিক উপাদান বলা যেতে পারে। যেমনটা তোমরা খেলনার ব্লক দিয়ে অনেক কিছু তৈরি করো, তেমনি বড় বড় সংখ্যাগুলোকে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে দেখানো যায়।

উদাহরণস্বরূপ:

• ৬ = ২ $\times$ ৩ (এখানে ২ এবং ৩ দুটোই মৌলিক সংখ্যা)
• ১০ = ২ $\times$ ৫ (এখানে ২ এবং ৫ দুটোই মৌলিক সংখ্যা)

কম্পিউটার এবং অনেক আধুনিক প্রযুক্তিতে মৌলিক সংখ্যা ব্যবহার করা হয়। যেমন, তোমরা যখন অনলাইনে কিছু কেনাকাটা করো বা ইন্টারনেটে কোনো তথ্য পাঠাও, তখন সেই তথ্য সুরক্ষিত রাখার জন্য মৌলিক সংখ্যার ধারণা কাজে লাগানো হয়। এটাকে বলে ‘ক্রিপ্টোগ্রাফি’ বা গুপ্তলিখন।

কীভাবে মৌলিক সংখ্যা খুঁজে বের করব?

চলো, আমরা ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো খুঁজে বের করার চেষ্টা করি:

• ১: মৌলিক সংখ্যা নয়।
• ২: ১ এবং ২ দিয়ে ভাগ করা যায়। এটি মৌলিক সংখ্যা।
• ৩: ১ এবং ৩ দিয়ে ভাগ করা যায়। এটি মৌলিক সংখ্যা।
• ৪: ১, ২, ৪ দিয়ে ভাগ করা যায়। এটি মৌলিক সংখ্যা নয়।
• ৫: ১ এবং ৫ দিয়ে ভাগ করা যায়। এটি মৌলিক সংখ্যা।
• ৬: ১, ২, ৩, ৬ দিয়ে ভাগ করা যায়। এটি মৌলিক সংখ্যা নয়।
• ৭: ১ এবং ৭ দিয়ে ভাগ করা যায়। এটি মৌলিক সংখ্যা।
• ৮: ১, ২, ৪, ৮ দিয়ে ভাগ করা যায়। এটি মৌলিক সংখ্যা নয়।
• ৯: ১, ৩, ৯ দিয়ে ভাগ করা যায়। এটি মৌলিক সংখ্যা নয়।
• ১০: ১, ২, ৫, ১০ দিয়ে ভাগ করা যায়। এটি মৌলিক সংখ্যা নয়।

তাহলে, ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ২, ৩, ৫, ৭।

এভাবে তোমরা যেকোনো সংখ্যা মৌলিক কি না, তা খুঁজে দেখতে পারো।

আশা করি মৌলিক সংখ্যা নিয়ে তোমাদের ধারণা স্পষ্ট হয়েছে! গণিতের এই মজার জগৎটা আরও অন্বেষণ করতে থাকো!

যৌগিক সংখ্যা কী?

বন্ধুরা, আমরা এর আগে মৌলিক সংখ্যা নিয়ে কথা বলেছিলাম। মনে আছে তো, মৌলিক সংখ্যা এমন সংখ্যা যাদেরকে শুধু ১ এবং সেই সংখ্যাটি নিজে দিয়ে ভাগ করা যায়। এখন আমরা মৌলিক সংখ্যার ঠিক উল্টো একটা মজার সংখ্যা সম্পর্কে জানব, যাদেরকে আমরা যৌগিক সংখ্যা বলি।

যৌগিক সংখ্যা হলো এমন সংখ্যা যাদেরকে ১ এবং সেই সংখ্যাটি নিজে ছাড়াও অন্য কমপক্ষে একটি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায়। সহজ কথায়, যৌগিক সংখ্যার দুইটির বেশি উৎপাদক (যে সংখ্যাগুলো দিয়ে ভাগ করা যায়) থাকে।

চলো, কিছু উদাহরণ দিয়ে বুঝি:

• ৪: এই সংখ্যাটিকে আমরা ১ দিয়ে ভাগ করতে পারি (৪ $div$ ১ = ৪), ২ দিয়ে ভাগ করতে পারি (৪ $div$ ২ = ২), এবং ৪ দিয়েও ভাগ করতে পারি (৪ $div$ ৪ = ১)। যেহেতু ৪-কে ১ এবং ৪ ছাড়াও ২ দিয়ে ভাগ করা যায়, তাই ৪ একটি যৌগিক সংখ্যা। এর উৎপাদকগুলো হলো ১, ২, এবং ৪।
• ৬: এই সংখ্যাটিকে ১, ২, ৩ এবং ৬ দিয়ে ভাগ করা যায়। যেহেতু এর দুইটির বেশি উৎপাদক (১, ২, ৩, ৬) আছে, তাই ৬ একটি যৌগিক সংখ্যা।
• ৯: ৯-কে ১, ৩ এবং ৯ দিয়ে ভাগ করা যায়। এটিও একটি যৌগিক সংখ্যা।

যৌগিক সংখ্যার বৈশিষ্ট্য

যৌগিক সংখ্যাদের কিছু সাধারণ বৈশিষ্ট্য আছে:

১. সবচেয়ে ছোট যৌগিক সংখ্যা ৪: যৌগিক সংখ্যাদের মধ্যে ৪ হলো সবচেয়ে ছোট। ২. ১ যৌগিক সংখ্যা নয়: মৌলিক সংখ্যার আলোচনার সময় আমরা দেখেছিলাম যে ১ মৌলিক সংখ্যা নয়। ১ যৌগিক সংখ্যাও নয়। কারণ যৌগিক সংখ্যার জন্য দুইটির বেশি উৎপাদক থাকা প্রয়োজন, কিন্তু ১-এর উৎপাদক শুধু ১-ই। ৩. প্রত্যেক যৌগিক সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে প্রকাশ করা যায়: এটা যৌগিক সংখ্যার একটা খুবই গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য। যেকোনো যৌগিক সংখ্যাকে কিছু মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে লেখা যায়। একে বলে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ।

উদাহরণস্বরূপ:
* ৪ = ২ * ২ (এখানে ২ একটি মৌলিক সংখ্যা)
* ৬ = ২ * ৩ (এখানে ২ এবং ৩ দুটোই মৌলিক সংখ্যা)
* ১২ = ২ * ২ * ৩ (এখানে ২ এবং ৩ দুটোই মৌলিক সংখ্যা)

মৌলিক বনাম যৌগিক: পার্থক্য কোথায়?

সহজভাবে বলতে গেলে:

• মৌলিক সংখ্যা: বন্ধু কম! শুধু ১ এবং নিজে, এই দুজনই তাদের ভাগ করতে পারে। (যেমন: ২, ৩, ৫, ৭…)
• যৌগিক সংখ্যা: বন্ধু বেশি! ১, নিজে, এবং আরও অনেকে মিলে তাদের ভাগ করতে পারে। (যেমন: ৪, ৬, ৮, ৯, ১০…)

কীভাবে যৌগিক সংখ্যা খুঁজে বের করব?

চলো, আমরা ১০ পর্যন্ত যৌগিক সংখ্যাগুলো খুঁজে বের করার চেষ্টা করি:

• ১: মৌলিকও নয়, যৌগিকও নয়।
• ২: শুধু ১ এবং ২ দিয়ে ভাগ করা যায়। এটি মৌলিক সংখ্যা।
• ৩: শুধু ১ এবং ৩ দিয়ে ভাগ করা যায়। এটি মৌলিক সংখ্যা।
• ৪: ১, ২, ৪ দিয়ে ভাগ করা যায়। এর উৎপাদক তিনটি। এটি যৌগিক সংখ্যা।
• ৫: শুধু ১ এবং ৫ দিয়ে ভাগ করা যায়। এটি মৌলিক সংখ্যা।
• ৬: ১, ২, ৩, ৬ দিয়ে ভাগ করা যায়। এর উৎপাদক চারটি। এটি যৌগিক সংখ্যা।
• ৭: শুধু ১ এবং ৭ দিয়ে ভাগ করা যায়। এটি মৌলিক সংখ্যা।
• ৮: ১, ২, ৪, ৮ দিয়ে ভাগ করা যায়। এর উৎপাদক চারটি। এটি যৌগিক সংখ্যা।
• ৯: ১, ৩, ৯ দিয়ে ভাগ করা যায়। এর উৎপাদক তিনটি। এটি যৌগিক সংখ্যা।
• ১০: ১, ২, ৫, ১০ দিয়ে ভাগ করা যায়। এর উৎপাদক চারটি। এটি যৌগিক সংখ্যা।

তাহলে, ১০ পর্যন্ত যৌগিক সংখ্যাগুলো হলো: ৪, ৬, ৮, ৯, ১০।

যৌগিক সংখ্যাও গণিতে অনেক কাজে লাগে, বিশেষ করে যখন আমরা বড় সংখ্যা নিয়ে কাজ করি বা সংখ্যাদের বৈশিষ্ট্য বোঝার চেষ্টা করি। আশা করি যৌগিক সংখ্যা সম্পর্কে তোমাদের ভালো ধারণা হয়েছে!